EF-T3 pour l'élasticité plane

Objectifs : Assimiler les techniques de calcul au niveau élémentaire mise en œuvre dans un modèle élément finis pour un problème de mécanique.

La structure à étudier est une plaque mince homogène isotrope chargée dans son plan.
Nous utiliserons donc le modèle des contraintes planes pour représenter l'état de contrainte réel dans la structure.

Les conditions aux limites et le modèle éléments finis que nous allons utiliser sont représentés sur la figure ci-contre, les éléments sont des éléments de type T3 présentés dans le cours.

Formulation
Rappeler la forme variationnelle du problème.
Donner la forme vectorielle de la loi de comportement.
Exprimer la matrice reliant le vecteur des déformations et les déplacements nodaux d'un élément.
Utilisez ces calculs pour donner l'expression matricielle de la matrice raideur élémentaire.

Calcul de la matrice raideur élémentaire
Nous voulons utiliser l'élément de référence T3 pour effectuer les calculs en suivant les étapes d'un code éléments finis, on se limitera au premier élément pour éviter les calculs répétitifs.

Exprimez la matrice jacobienne de la transformation géométrique du premier élément.
Calculer les dérivées des fonctions d'interpolation sur l'élément réel Ni,x et Ni,y
Donnez l'expression matricielle permettant de calculer la matrice raideur du premier élément.

Calcul de l'état de contrainte sur les éléments
La solution en déplacement est supposée connue.
Donner l'expression du vecteur des contraintes pour les deux éléments du modèle, vous exprimerez ces vecteurs en fonction des déplacements nodaux.
Comparer les expressions.