EF-T3 pour calculer la température sur un carré

Objectifs : Effectuer les calculs au niveau élémentaire sans utiliser la notion d'élément de référence.

Le domaine étudié est un carré de coté 2a représenté par la figure ci contre.
La température dans le domaine est régie par le système d'équations suivant :

f représente une densité de source de chaleur supposée uniforme sur le domaine.
Le modèle éléments finis que nous allons utiliser est représenté sur la figure, les éléments sont des éléments de type T3.

Formulation
Rappeler la forme variationnelle du problème.
Simplifier l'équation intégrale en considérant que les conditions aux limites sur la frontière sont satisfaites.
Donner la forme matricielle correspondant à une approximation de cette équation intégrale.

Calcul de la matrice raideur élémentaire
L'objectif ici est d'établir l'expression des matrices élémentaires directement sur les éléments réels car la géométrie le permet. Pour éviter les calculs répétitifs, on se limitera au premier élément (l'élément 123).
Définir les fonctions d'interpolation sur le premier élément.
Déterminer la matrice raideur et le vecteur force généralisé associés à cet élément.
Montrer que pour les autres éléments les résultats sont identiques.

Résolution
Effectuez l'assemblage et calculer la température au centre du carré.