Mise en équations des barres

En mécanique nous pouvons effectuer la mise en équations par le Principe Fondamental de la dynamique (PFD), le Principe des Travaux Virtuels (PTV), ou par le Principe de Hamilton. Ces trois principes conduisent aux mêmes équations c'est l'approche qui est différente.


PFD

Le PFD appliqué au modèle barre en traction - compression donne le système d'équations aux dérivées partielles (EDP) suivant :

Mise en équations par le PFD :

Isoler une tranche d'épaisseur dx
Effectuer le bilan des efforts extérieur sur cet élément de matière
Écrire l'équation de résultante
Puis utiliser la loi de comportement intégré pour obtenir l'équation locale suivante

Pour résoudre, il faut deux conditions aux limites et deux conditions initiales
Les conditions aux Limites sont de deux types
déplacement imposé :
force imposée
Les conditions initiales sont la déformée et la vitesse de déformation initiales.

PTV

Le PTV appliqué au modèle barre en traction -compression donne l'équation intégrale suivante :

c'est la forme variationnelle du problème

Mise en équations par le PTV :

Le premier terme correspond au travail virtuel des quantités d'accélération
Le second terme correspond au travail virtuel des efforts de cohésion (contraintes - déformations)
avec
ce terme peut se mettre sous la forme avec
Le troisième terme correspond au travail virtuel du chargement volumique (champ de force)
Le dernier terme correspond au travail des efforts appliqués aux extrémités du barreau, on y retrouve les conditions aux limites de notre problème.

Équivalence des principes :

En effectuant une intégration par partie du PTV on retrouvera le PFD et les conditions aux limites du problème. De même il est possible de partir du PFD pour retrouver le PTV (voir le chapitre EDP - méthode variationnelle).