Mise en équations des problèmes 3D (MMC)


En mécanique nous pouvons effectuer la mise en équations par le Principe Fondamental de la dynamique (PFD), le Principe des Travaux Virtuels (PTV), ou par le Principe de Hamilton. Ces trois principes conduisent aux mêmes équations c'est l'approche qui est différente.

PFD

Le PFD appliqué à un milieu continu donne le système d'équations aux dérivées partielles (EDP) suivant :

l'équation locale correpond au PFD appliqué à un élément de volume en exprimant les efforts extérieur en fonction du tenseur des contraintes

Pour résoudre

il faut lui associer les deux relations suivantes :
Lois de comportement: 
Relations géométriques entre déplacements et déformations: 


PTV

Le PTV appliqué à un milieu continu donne la forme variationnelle du problème (équation intégrale)

Compte tenu des relations déplacements - déformations

Le premier terme correspond au travail virtuel des quantités d'accélération
Le second terme correspond au travail virtuel des efforts de cohésion (contraintes - déformations)
ce terme peut se mettre sous la forme avec
Le troisième terme correspond au travail virtuel du chargement volumique (champ de force)
Le dernier terme correspond au travail des efforts appliquésà la frontière, on y retrouve les conditions aux limites du problème.

Équivalence des principes (résidus pondérés):

partons du PFD : ==>

intégration par parties et TH d'Ostrogradsky :
Les conditions aux limites en efforts ==>
conduisent à on retrouve le PTV.