Formulation variationnelle d’un problème de flexion

Objectifs : Mettre en oeuvre de la formulation variationnelle sur un problème de vibration.

Intéressons-nous aux vibrations transversales de la poutre droite de longueur représentée par la figure ci contre.
La masse M en bout de poutre est supposée ponctuelle.

Mise en équations - Construction d'une approximation.
Écrivez le système d'équations différentielles régissant ce problème.
Vérifier que les fonctions de forme sont cinématiquement admissibles.
Déterminer la valeur de "Cn" pour que l'approximation satisfasse la condition de moment nul en
.

Formulation variationnelle - forme matricielle.
Appliquez la méthode des résidus pondérés en transformant la forme intégrale par intégration par parties pour faire apparaître les conditions aux limites.
En déduire l'équation matricielle du modèle ainsi construit.
Déterminer l'expression des coefficients des matrices masse et raideur pour une approximation à n paramètres de la forme :

Application numérique. pour
Comparez avec les résultats obtenus avec une approximation à un, puis deux paramètres et la solution analytique *.
Vous pouvez utiliser MAPLE ou MATLAB pour faire les calculs.

Application du Principe des Travaux Virtuels
Écrire la forme intégrale associée au PTV, et vérifier que les expressions matricielles sont identiques.

* Les 2 premières pulsations de résonance obtenue analytiquement sont : ,