Formulation forte d’un problème de flexion

Objectifs : Mettre en oeuvre de la méthode des résidus pondérés sur un problème de vibration simple.

Intéressons-nous aux vibrations transversales (flexion plane) de la poutre droite cylindrique de longueur représentée par la figure ci contre.
Elle est encastrée à son extrémité gauche et repose sur un pivot à l'autre extrémité.

Mise en équations - Construction d'une approximation.
Écrivez le système d'équations différentielles régissant ce problème.
Montrer que
vérifie toutes les conditions aux limites en déplacement. (fonction cinématiquement admissible)
On envisage des fonctions de la forme : avec polynôme de degré 1 puis de degré 2. Déterminer deux fonctions satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème.

Approximation à un paramètre.
Pour les 2 approximations à 1 paramètre dont la fonction de forme est un des 2 polynômes précédents
Déterminer l'équation du modèle "masse - ressort" obtenue par la méthode de Galerkin, en déduire deux approximations de la première pulsation propre. Comparez les résultats entre eux et avec la solution analytique *. Qu'en pensez-vous?

Approximation à deux paramètres.
Déterminer l'équation matricielle du modèle utilisant l'approximation à deux paramètres construite sur les deux fonctions de forme polynomiale (méthode de Galerkin). Comparer l'approximation des 2 premières fréquences obtenue avec cette approximation.
Posez les calculs, et utilisez MAPLE ou MATLAB pour les faire. Il est intéressant sur ce problème de comparer les déformées modales de la solution approchée et de la solution analytique.

La structure est maintenant placée dans le champ de pesanteur, déterminer la réponse statique dans le cadre de cette approximation à deux paramètres. Que pensez vous des résultats ?

* Les solutions analytiques de ces problèmes de flexion sont proposées sur le site « vibration ».
Nous donnons ci-dessous les 3 premières solutions analytiques de ce problème :

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