Formulation variationnelle
& Écriture Matricielle

Définitions

La formulation variationnelle est le passage des équations différentielles d'un problème à une forme intégrale que l'on pourra traiter numériquement par une méthode d'approximation de type éléments finis.

Écriture matricielle est le passage de la forme intégrale à une forme matricielle obtenue lorsque le champ inconnu est cherché sous forme approchée par des fonctions de forme définies soit sur tout le domaine soit par sous domaine (éléments finis).

Pourquoi étudier les formulations variationnelle ?

Les hypothèses que l'on fait pour modéliser un problème physique conduisent à un système d'équations différentielles, dans le cas général on ne connait pas la solution analytique de ces équations. Plusieurs méthodes numériques permettent de traiter cette difficulté, citons les trois grandes méthodes les plus utilisées, la méthode des différences finies la méthode des volumes fins et celle des éléments finis. La méthode des différences finis permet de traiter rapidement des géométries simples, celle des volumes finis basée sur l'écriture des équations de conservation est très utilisée en mécanique des fluides, celle des éléments finis basée sur la forme intégrale (ou variationnelle) du problème et la plus utilisée de toutes. C'est celle qui nous intéresse dans le cadre de ce cours.

Qu'allez-vous apprendre ?

Ce chapitre présente le passage des équations différentielles à la forme variationnelle puis matricielle de ces équations pour différents problème de physique. Le cours est développé pour les problèmes de mécanique, il est appliqué aux modèles contraintes ou déformations planes et aux problèmes axisymétriques. Les exemples du cours illustrent d'autres domaines de la physique tels qu'écoulement fluide, thermodynamique, électromagnétisme.

Parcours pédagogique :

Les notions présentées ici ont été abordées et traitées lors de la mise en équations des treillis et des portiques (problèmes monodimensionnels).
Ce chapitre est un près requis indispensable pour aborder les méthodes numériques.
En fonction de vos objectifs, vous pouvez vous limiter à l'étude des problèmes de mécanique quitte à revenir plus tard sur les autres modèles de la physique.